作业帮两道关于导数的题目1.证明：奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数1.如果f'(0)为偶函数,f' （0）存在 ,证明f（0）=0希望过程详细些 且是标准答案 谢谢 o(∩_∩)o...在线等 ~ 麻烦各位大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 12:01:17
两道关于导数的题目1.证明：奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数1.如果f'(0)为偶函数,f' （0）存在 ,证明f（0）=0希望过程详细些 且是标准答案 谢谢 o(∩_∩)o...在线等 ~ 麻烦各位大
两道关于导数的题目
1.证明：奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数
1.如果f'(0)为偶函数,f' （0）存在 ,证明f（0）=0
希望过程详细些 且是标准答案 谢谢 o(∩_∩)o...
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1.如果f'(0)为偶函数，f' （0）存在 ，证明f'（0）=0
嘻嘻 出错了
两道关于导数的题目1.证明：奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数1.如果f'(0)为偶函数,f' （0）存在 ,证明f（0）=0希望过程详细些 且是标准答案 谢谢 o(∩_∩)o...在线等 ~ 麻烦各位大
楼上1的证明也太麻烦了,直接用复合函数求导就可以!
第2题仍然有问题.
1. 证明：假设f(x)为奇函数,且f(x)在实数域上可导,那么对于任何的x,由于：
f(x)+f(-x)=0,
两边求导得到：
f'(x)-f'(-x)=0,即
f'(x)=f'(-x).
因此对于任何的x,f'(x)=f'(-x).因此f'(x)为偶函数.
假设f(x)为偶函数,且f(x)在实数域上可导,那么对于任何的x,由于：
f(x)=f(-x)
两边求导得到
f'(x)=-f'(-x)
即f'(x)+f'(-x)=0对任意实数x成立.所以f'(x)是奇函数.
证毕.
2.如果f'(x)为偶函数,则对于任意的实数x,f'(x)=f'(-x).
对任意的实数k>0,两边求定积分,得到：
∫_0^k(f'(x))dx=∫_0^k(f'(-x))dx
因此f(k)-f(0)=f(0)-f(-k).
但是做到这里已经发现题目不对了.
反例：如果f(x)=x^3+1,那么f'(x)=3x^2为偶函数,但是f(0)=1.
这样改题目也不对!
反例：如果f(x)=x^3+x,那么f'(x)=3x^2+1.所以f'(x)是偶函数,但是f'(0)=1
1。由奇函数定义F(X)=-F(-X)
所以F'(X)=-(-F(-X))=F(-X)
得证
第二题你是不出错了？F'(0)?
一：题目要加个前提！在可导的情况下！
设 f(x)为可导的偶函数。f(x)=f(-x)
g(x)为f(x)的导函数。
对于任意的自变量位置 x0
g(x0) = lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0) = lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx = lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx
f(x)可导，其...
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一：题目要加个前提！在可导的情况下！
设 f(x)为可导的偶函数。f(x)=f(-x)
g(x)为f(x)的导函数。
对于任意的自变量位置 x0
g(x0) = lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0) = lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx = lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx
f(x)可导，其左右导数相等。
即：lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx = lim[f(x0)-f(x0-dx)]/dx
上面这个等式中，左端就是 g(x0)的表达式，而右端即为 -g(-x0)的表达式。
即 g(x0) = - g(-x0)
x0 具备任意性，因此 g(x) = - g(-x)
即在 f(x)是可导偶函数前提下，其导函数是奇函数。求证命题成立。
同理也可以证明“可导奇函数的导数是偶函数”！
二：题目错了 应该是这样的 如果f(x)是偶函数，且f'(0)存在，求证：f'(0)=0
由于f(x)为偶函数，有f(-x)=f(x)
则[f(-x)]'=[f(x)]'
-f'(x)=f(x) 即f'(x)为奇函数
由于若即函数在X=0处存在，则一定过原点
故有f'(0)=0
收起
1.若F(X)为奇函数,G(Y)为偶函数
则由F(X)=-F(-X),G(Y)=G(-Y);
对两个等式两边分别求导得
F'(X)=F'(-X),G'(Y)=-G'(-Y);
即证
2.题目确实有问题,第一个f'(0)是f'(x)吧?