作业帮空间解析几何的小问题点M（1.-1.1）直线L ：X-1/3=Y-5/3=Z-3/2 求点M关于直线对称的另一点还有一题平面方程X+Y=0求关于直线L的对称平面方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 15:48:42
空间解析几何的小问题点M（1.-1.1）直线L ：X-1/3=Y-5/3=Z-3/2 求点M关于直线对称的另一点还有一题平面方程X+Y=0求关于直线L的对称平面方程
空间解析几何的小问题
点M（1.-1.1）直线L ：X-1/3=Y-5/3=Z-3/2 求点M关于直线对称的另一点
还有一题平面方程X+Y=0求关于直线L的对称平面方程
空间解析几何的小问题点M（1.-1.1）直线L ：X-1/3=Y-5/3=Z-3/2 求点M关于直线对称的另一点还有一题平面方程X+Y=0求关于直线L的对称平面方程
直线L ：（X-1）/3 = （Y-5）/3 = （Z-3）/2 的1个方向向量T = {3,3,2}
过点M,以T为法向量的平面Q的平面方程为
3(X-1) + 3(Y+1) + 2(Z-1) = 0.
因,
点（1 + 3t,5 + 3t,3 + 2t）在直线L上,
将X = 1 + 3t,Y = 5 + 3t,Z = 3 + 2t代入平面Q的方程,
0 = 3(1 + 3t - 1) + 3(5 + 3t + 1) + 2(3 + 2t - 1)
= 9t + 18 + 9t + 4 + 4t
= 22t + 22,
t = -1,
得直线L与平面Q的交点坐标,
（1 - 3,5 - 3,3 - 2） = (-2,2,1)
设点M关于直线L的对称点的坐标为（A,B,C）
则点(-2,2,1)是点M和点（A,B,C）的中点,
A + 1 = 2(-2),A = -5
B - 1 = 2(2),B = -5
C - 1 = 2(1),C = -3.
所以,
点（-5,-5,-3）就是点M关于直线L的对称点.
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点A（u,-u,v）是平面 X + Y = 0上的任一点.
直线L ：（X-1）/3 = （Y-5）/3 = （Z-3）/2 的1个方向向量T = {3,3,2}
过点A,以T为法向量的平面Q的平面方程为
3(X-u) + 3(Y+u) + 2(Z-v) = 0.
因,
点（1 + 3t,5 + 3t,3 + 2t）在直线L上,
将X = 1 + 3t,Y = 5 + 3t,Z = 3 + 2t代入平面Q的方程,
0 = 3(1 + 3t - u) + 3(5 + 3t + u) + 2(3 + 2t - v)
= 9t + 3(1-u) + 3(5+u) + 9t + 2(3-v) + 4t
= 22t + 24 - 2v,
t = (v - 12)/11,
得直线L与平面Q的交点B的坐标,
（1 + 3(v-12)/11,5 + 3(v-12)/11,3 + 2(v-12)/11）
设点A关于直线L的对称点的坐标为（X,Y,Z）
则点B是点M和点（X,Y,Z）的中点,
(X,Y,Z) = 2B - A
= [2 + 6(v-12)/11 - u,10 + 6(v-12)/11 + u,6 + 4(v-12)/11 - v]
= [2 + 6(v-12)/11 - u,10 + 6(v-12)/11 + u,12 - v + 4(v-12)/11 - 6]
= [2 + 6(v-12)/11 - u,10 + 6(v-12)/11 + u,-7(v-12)/11 - 6]
X = 2 - u + 6(v-12)/11,
Y = 10 + u + 6(v-12)/11,
Z = -6 - 7(v-12)/11
u = (Y-X-8)/2,
(v-12)/11 = (X + Y - 12)/12 = [-6-Z]/7,
7(X+Y-12)+12(Z+6) = 0,
7X + 7Y + 12Z - 12 = 0
就是平面X+Y=0关于直线L的对称平面.