试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间（0,2）上有唯一实数根；记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生，也不会做此题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 23:45:08
试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间（0,2）上有唯一实数根；记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生，也不会做此题

试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间（0,2）上有唯一实数根；记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生，也不会做此题
试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间（0,2）上有唯一实数根；记此根为X(n),求X(n)的最大值
小弟我是重点中学尖子班的学生，也不会做此题……这说明什么？
有哪位数学王子想要证明自己的实力？来小试一番，这可是个难得的机会呀。
（二楼的，实根存在 我原本就证出来了，关键 是它的最值不好求。所以抱歉，分不能给你）

试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间（0,2）上有唯一实数根；记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生，也不会做此题
整理上式得 f(x)=(n+1+x)/((1+x)(n+2+x))-[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1]
求导 f(x)‘=0 仅看分子
（1+x）(n+2+x)-(n+1+x)(n+2+x+1+x)=0
x^2+2(n+1)x+n^2+3n+1=0
求得x

先化简，为了好写一点，设[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1]=an，1+X=y，化去(1+X)^(n-1)则有
[n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)]=（n+y）/[(n+1)y+y^2]=an，整理得any^2+[an(n+1)-1]y-n=0，求导有y‘=2any+an(n+1)-1=(2y+n+1)an...

全部展开

先化简，为了好写一点，设[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1]=an，1+X=y，化去(1+X)^(n-1)则有
[n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)]=（n+y）/[(n+1)y+y^2]=an，整理得any^2+[an(n+1)-1]y-n=0，求导有y‘=2any+an(n+1)-1=(2y+n+1)an-1，因为y为（1,3）1/3<=an<1/2故y‘显然大于0.即递增。又代入y=1，原式=an+[an(n+1)-1]-n=(n+2)【an-(n+1)/(n+2)】<0【因为2/3《(n+1)/(n+2)《1】同理代入y=3，有原式=9an+3an(n+1)-3-n>=3+n+1-3-n>0,即有F(1)<0,F(3)>0且单调递增，故在（1,3）有且仅有一个实数根使得F(y)=0.即在区间（0,2）上有唯一实数根；至于第二问太难算了，你自己先算算吧

收起

去问一下拉格朗日 莱布尼兹 或是牛顿吧 他们应该是会的

费脑子，分太少

试试：
转化为二次函数，求二次函数的跟，然后对根进行讨论。

试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间（0,2）上有唯一实数根；记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生，也不会做此题 证明方程x^n+n*x-1=0有唯一的正实根 关于x的方程m/x-n/x=1/n-1/m(m不等于n)的解是 设an是关于x的方程X^n+nx-1=0 n∈正整数 x∈(0,正无穷）的根,试证明a1^2+a2^2+a3^2+a4^2……an^2 界关于x的方程：（1）m*m(x-n)=n*n(x-m)(m*m不等于n*n) 若关于x的方程(n-1)x|n|次方+1=3是一元一次方程则n的值是多少 如果方程2x的n-1次方+n=0是关于x的一元一次方程,那么n=多少? 试证明 x/[n(n+k)]=(x/k)[1/n-1/(n+k)] 已知方程(2-n)x^|n|-1=4是关于x的一元一次方程,求代数式(n+3)^2011 .已知关于x的方程2x^2-（3m+n）x+mn=0,且m＞n＞0.证明：这个方程的两根中有一个比n大,有一个比n小. 微积分：关于当（x→∞）,(1+1/n)^n的极限的例题中,设x(n)=(1+1/n)^n,(n=1,2,…）,证明数列{x(n）}是单调増加且有界,由牛顿二项公式 有x(n)=(1+1/n)^n=1+n/1!*1/n+[n(n-1)]/2!*(1/n)^2+[n(n-1)(n-2)]/3!*(1/n)^3+…+{n(n-1) 一道关于微分中值定理的题目若方程a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x=0有一个正根,证明方程a0nx^(n-1)+a1(n-1)x^(n-2)+…+a(n-1)=0必有一个小于的正根. 若关于x的方程m（2x+1)=n(x+5)+3(x-1)的解是全体实数,试求m,n的值? 若关于x的方程m（2x+1)=n(x+5)+(x-1）的解是全体实数,试求m,n的值 已知关于x的方程3x的n+1次方+2x-7=(x≠0)是一元一次方程,试求n的值 证明题：证明当n是一个整数且n>2时,方程x^n+y^n=z^n无正整数x,y,z的解. 若X=0是关于X的方程2X-3N=1的根,则N=? 解关于x的方程1/3m(x-n)=1/4(x+2m)