作业帮求和证明不等式求证∑k=2(1/k-ln1/k)>(n-1)/2(n+1).其中k=5是在∑下面,上面是n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:09:29
求和证明不等式求证∑k=2(1/k-ln1/k)>(n-1)/2(n+1).其中k=5是在∑下面,上面是n
求和证明不等式
求证∑k=2(1/k-ln1/k)>(n-1)/2(n+1).其中k=5是在∑下面,上面是n
求和证明不等式求证∑k=2(1/k-ln1/k)>(n-1)/2(n+1).其中k=5是在∑下面,上面是n
题目大概有点问题.
首先,求和式应该是∑{2 ≤ k ≤ n} (1/k-ln(1+1/k))吧?
否则k = 2时1/2-ln(1/2) > 1/2 > (n-1)/(2(n+1)),之后的项都不用看了.
其次,可以证明的是(n-1)/(4(n+1)) < ∑{2 ≤ k ≤ n} (1/k-ln(1+1/k)) < (n-1)/(2(n+1)).
所以不等号反了或者系数错了.
考虑证明不等式(1/k-1/(k+1))/2 < 1/k-ln(1+1/k) < 1/k-1/(k+1) ①,
之后只需对k从2到n求和即得:
(n-1)/(4(n+1)) = (1/2-1/(n+1))/2 < ∑{2 ≤ k ≤ n} (1/k-ln(1+1/k)) < 1/2-1/(n+1) = (n-1)/(2(n+1)).
①式右端等价于-1/(k+1) > -ln(1+1/k) = ln(k/(k+1)) = ln(1-1/(k+1)).
这可由-1 < x < 0时ln(1+x) < x得到 (对f(x) = x-ln(1+x)求导证明).
①式左端等价于2ln(1+1/k) < 1/k+1/(k+1).
考虑g(x) = x+x/(1+x)-2ln(1+x),有g'(x) = 1+1/(1+x)^2-2/(1+x) = x^2/(1+x)^2 ≥ 0.
由g(0) = 0即得x > 0时2ln(1+x) < x+x/(1+x).
取x = 1/k就得到2ln(1+1/k) < 1/k+1/(k+1),证毕.
实际上,①式有其几何意义.
1/k-ln(1+1/k)是区间[k,k+1]上,曲线y = 1/x上方,直线y = 1/k的曲边三角形的面积.
①式右端是[k,k+1]上,直线y = 1/k与y = 1/(k+1)之间的矩形面积,包含上述曲边三角形.
①式左端是该矩形一条对角线右上方的直角三角形面积上,被上述曲边三角形包含.
因此①式就是这3个区域包含关系给出的面积大小关系.