作业帮（通州）如图24,△ABC是等边三角形,⊙O过点B、C,且与BA,CA的延长线分别交于点D,E.弦DF‖AC,EF的延长线交BC的延长线于点G.⑴求证：△BEF是等边三角形；⑵若BA＝4,CG＝2,求BF的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 16:56:40
（通州）如图24,△ABC是等边三角形,⊙O过点B、C,且与BA,CA的延长线分别交于点D,E.弦DF‖AC,EF的延长线交BC的延长线于点G.⑴求证：△BEF是等边三角形；⑵若BA＝4,CG＝2,求BF的长.
（通州）如图24,△ABC是等边三角形,⊙O过点B、C,且与
BA,CA的延长线分别交于点D,E.弦DF‖AC,EF
的延长线交BC的延长线于点G.
⑴求证：△BEF是等边三角形；
⑵若BA＝4,CG＝2,求BF的长.
（通州）如图24,△ABC是等边三角形,⊙O过点B、C,且与BA,CA的延长线分别交于点D,E.弦DF‖AC,EF的延长线交BC的延长线于点G.⑴求证：△BEF是等边三角形；⑵若BA＝4,CG＝2,求BF的长.
1.∠EFB与∠ECB都是圆中BE弦所对应的圆周角,故有∠EFB=∠ECB,根据等边三角形ABC,可知∠ECB=60度,于是有∠EFB=60度
DF‖AC,根据平行弦所夹弧相等的结论可得：弧DE=弧FC,而∠EBD与∠FBC分别是弧DE,FC所对应的圆周角,故有∠EBD=∠FBC,而等边三角形ABC中,∠DBC=60度,所以∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=∠DBC=60度
于是在△EBF中,因为∠EBF=∠EFB=60度,所以EBF为等边三角形
2.根据圆的割线定理,由图可得：FG*GE=GC*GB,而等边三角形EBF中,有BF=EF,另有AB=BC=4,CG=2,所以前式变形为：FG*(FG+EF)=GC*(GC+BC),
FG*(FG+BF)=FG^+FG*BF=2*(2+4)=12 ①
∠BFG=180度-∠EFB=180-60=120度,在△FBG中运用余弦定理可列出：
BG^=BF^+FG^-2*BF*FG*cos∠BFG=FB^+FG^-2BF*BG*(-1/2)=BF^+(FG^+BF*BG)
把BG=（2+4）=6以及 ①式代入,最后可得BF=2√6