作业帮【高等数学】试确定以下无穷小对于x的阶数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 12:09:14
【高等数学】试确定以下无穷小对于x的阶数
【高等数学】试确定以下无穷小对于x的阶数
【高等数学】试确定以下无穷小对于x的阶数
使用等价无穷小：x→0时,e^x-1等价于x,ln(1+x)等价于x.
lim ((cosx)^x-1)/x^k
=lim (e^(xln(cosx)-1)-1)/x^k
=lim xln(cosx)/x^k
=lim x(cosx-1)/x^k
=lim x(-1/2×x^2)/x^k
=lim (-1/2×x^(3-k))
要保证极限非零,需要3-k=0时,即k=3.
所以x→0时,(cosx)^x-1是x的3阶无穷小.
－－－－－－
你的ps有错误,那个“常数”应是“非零常数”.
考察函数的泰勒展式即可。
对 (cosx)^x多次求导，直到得到的导数在x=0处不为0为止。
(cosx)^x的求导可先对其取对数。
y=(cosx)^x=e^[xlncosx]
y'=e^[xlncosx](lncosx-xtanx)
lim(y-1)/x^k (罗比达法则：
=limy'/(kx^(k-1))
=lim(lncosx-xtanx)/(kx^(k-1)
=lim(-tanx-tanx-x(secx)^2)/[k(k-1)x^(k-...
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y=(cosx)^x=e^[xlncosx]
y'=e^[xlncosx](lncosx-xtanx)
lim(y-1)/x^k (罗比达法则：
=limy'/(kx^(k-1))
=lim(lncosx-xtanx)/(kx^(k-1)
=lim(-tanx-tanx-x(secx)^2)/[k(k-1)x^(k-2)]
=lim(-2tanx-x(secx)^2)/[k(k-1)x^(k-2)]
=lim(-sin2x-x)/[k(k-1)x^(k-2)]
=lim(-2cos2x-1)/[k(k-1)(k-2)x^(k-3)]
当k=3时，极限为常数
即：(cosx)^x-1是x的3阶无穷小
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