作业帮设函数f(x)定义域为R,对于任意的x1,x2属于R,函数都有f(x1+x2)=f(x1)f（x2）证f(x)>0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 18:19:52
设函数f(x)定义域为R,对于任意的x1,x2属于R,函数都有f(x1+x2)=f(x1)f（x2）证f(x)>0
设函数f(x)定义域为R,对于任意的x1,x2属于R,函数都有f(x1+x2)=f(x1)f（x2）证f(x)>0
设函数f(x)定义域为R,对于任意的x1,x2属于R,函数都有f(x1+x2)=f(x1)f（x2）证f(x)>0
f(x)=f(x/2 + x/2) = [f(x/2)]^2 >= 0.
此函数可以是恒等于0.
如果要 f(x) 严格大于 0,必须另加条件.比如 f(x)不恒等于0,且在x=0处连续.
下面证明这个条件下 f(x) 严格大于 0.
存在a 使得 f(a)不等于0,
f(a+0)=f(a)*f(0) => f(a)*(f(0)-1)=0 => f(0)=1
如果 存在 b 使得 f(b) = 0,
0=f(b)=f(b/n + b/n + b/n...+ b/n)
=f(b/n)*f(b/n+ b/n...+b/n)
= [f(b/n)]^2*f( b/n...+b/n)
= ...
=[f(b/n)]^n
所以 f(b/n) = 0
因为 b/n --> 0,而f(x) 在x=0处连续,所以 f(0) = 0 这与前面得到的f(0)=1矛盾,所以 f(x) 恒大于0.
f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f^2(x/2)>=0
注：若要f(x)>0,需要加条件“对任意x,f(x)≠0”
证明：
（1）当f(x)=0时，对于x1,x2都等于0，函数f(x1+x2)=f(x1)f（x2）成立。
（2）当f(x)不等于0时，且在x=0处连续，
假设存在a 使得 f(a)不等于0,f(a+0)=f(a)*f(0) => f(a)*(f(0)-1)=0 => f(0)=1
如果存在 b 使得 f(b) = 0,
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证明：
（1）当f(x)=0时，对于x1,x2都等于0，函数f(x1+x2)=f(x1)f（x2）成立。
（2）当f(x)不等于0时，且在x=0处连续，
假设存在a 使得 f(a)不等于0,f(a+0)=f(a)*f(0) => f(a)*(f(0)-1)=0 => f(0)=1
如果存在 b 使得 f(b) = 0,
0=f(b)=f(b/n + b/n + b/n...+ b/n)
=f(b/n)*f(b/n+ b/n...+b/n)
= [f(b/n)]^2*f( b/n...+b/n)
= ...
=[f(b/n)]^n
所以：f(b/n) = 0
因为: b/n趋向于0, 而f(x) 在x=0处连续， 所以 f(0) = 0 这与前面得到的f(0)=1矛盾， 所以 f(x) 恒大于0。
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