作业帮已知复数Z满足:|Z|=1且Z≠正负i,求证:Z/(1+Z²)是实数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 19:44:43
已知复数Z满足:|Z|=1且Z≠正负i,求证:Z/(1+Z²)是实数.
已知复数Z满足:|Z|=1且Z≠正负i,求证:Z/(1+Z²)是实数.
已知复数Z满足:|Z|=1且Z≠正负i,求证:Z/(1+Z²)是实数.
已知|Z|=1且Z≠正负i,
即：Z的模是1,辐角θ满足cosθ≠ 0
那么不妨设Z=cosθ+isinθ
带入可得：Z/(1+Z²)
的分母1+Z²=1+(cosθ+isinθ)^2
=1+cosθ^2-sinθ^2+2isinθcosθ
=2cosθ^2 + 2isinθcosθ
=2cosθ(cosθ+isinθ)
而分子Z=cosθ+isinθ
约分即可得到：
Z/(1+Z²)=1/2cosθ
不会输Z的共轭，就用W代替Z的共轭好了，比如Z=1/W,
Z/(1+Z^2)=1/(W(1+Z^2))=1/(W+WZ^2)=1/(W+Z),并且W+Z是实数
已知|Z|=1且Z≠正负i，
即：Z的模是1，辐角θ满足cosθ≠ 0
那么不妨设Z=cosθ+isinθ
带入可得：Z/(1+Z²)
的分母1+Z²=1+(cosθ+isinθ)^2
=1+cosθ^2-sinθ^2+2isinθcosθ
=2cosθ^2 + 2isinθcosθ
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已知|Z|=1且Z≠正负i，
即：Z的模是1，辐角θ满足cosθ≠ 0
那么不妨设Z=cosθ+isinθ
带入可得：Z/(1+Z²)
的分母1+Z²=1+(cosθ+isinθ)^2
=1+cosθ^2-sinθ^2+2isinθcosθ
=2cosθ^2 + 2isinθcosθ
=2cosθ(cosθ+isinθ)
而分子Z=cosθ+isinθ
约分即可得到：
Z/(1+Z²)=1/2cosθ
显然是实数（虚部i的系数为0）
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