证明三次项的基本不等式a^3+b^3+c^3≥3abc

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 13:18:30
证明三次项的基本不等式a^3+b^3+c^3≥3abc

证明三次项的基本不等式a^3+b^3+c^3≥3abc
证明三次项的基本不等式
a^3+b^3+c^3≥3abc

证明三次项的基本不等式a^3+b^3+c^3≥3abc
需要补充条件“a,b,c都是正数,即a,b,c>0”此不等式才成立~
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
∵a,b,c>0
∴a+b+c>0
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)/2
=[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2] /2>=0
相乘>=0
得证
疯狂答题手

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