设x∈(0,π/2),求函数y=(2sin^2x+1)/sin2x的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 00:24:21
设x∈(0,π/2),求函数y=(2sin^2x+1)/sin2x的最小值

设x∈(0,π/2),求函数y=(2sin^2x+1)/sin2x的最小值
设x∈(0,π/2),求函数y=(2sin^2x+1)/sin2x的最小值

设x∈(0,π/2),求函数y=(2sin^2x+1)/sin2x的最小值
因为x∈(0,π/2),所以tanx>0
将分子的1换成sin²x+ cos²x,
y=(2sin²x+1)/sin2x
=(2sin²x+sin²x+ cos²x)/sin2x
=(3sin²x+ cos²x)/(2sinxcosx)
分子分母同除以cos²x得
y=(3tan²x+1)/(2tanx)
=(3tanx)/2+1/(2tanx)
≥2√(3tanx)/2*1/(2tanx) (用的均值不等式)
=√3
所以函数y=(2sin²x+1)/sin2x的最小值为√3

因为x∈(0,π/2),所以tanx>0
将分子的1换成sin²x+ cos²x,
y=(2sin²x+1)/sin2x
=(2sin²x+sin²x+ cos²x)/sin2x
=(3sin²x+ cos²x)/(2sinxcosx)
分子分母同除以cos²x得

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因为x∈(0,π/2),所以tanx>0
将分子的1换成sin²x+ cos²x,
y=(2sin²x+1)/sin2x
=(2sin²x+sin²x+ cos²x)/sin2x
=(3sin²x+ cos²x)/(2sinxcosx)
分子分母同除以cos²x得
y=(3tan²x+1)/(2tanx)
=(3tanx)/2+1/(2tanx)
≥2√(3tanx)/2*1/(2tanx)
=√3
y=(2sin²x+1)/sin2x的最小值为√3

收起

tanx>0
将分子的1换成sin²x+ cos²x,
y=(2sin²x+1)/sin2x
=(2sin²x+sin²x+ cos²x)/sin2x
=(3sin²x+ cos²x)/(2sinxcosx)
=(3tan²x+1)/(2tanx)
=(3tanx)/2+1/(2tanx)
≥2√(3tanx)/2*1/(2tanx)
=√3
y=(2sin²x+1)/sin2x的最小值为√3