二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 22:28:43
二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2

二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2
二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2

二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2
先考虑驻点:az/ax=2x=0,az/ay=8y=0,驻点是(0,0),z(0,0)=9.
再考虑边界x^2+y^2=4.用Lagrange乘子法.
令F=z+c(x^2+y^2--4),
aF/ax=2x+2cx=0;
aF/ay=8y+2cy=0;
1、c=-1时,第二个方程得y=0,代入边界得x=2或-2,因此两个点为
(2,0)和(-2,0),此时z(2,0)=z(-2,0)=13.
2、c=-4时,代入第一个方程得x=0,于是y=2或-2
z(0,2)=z(0,-2)=25;
综上比较得z的最大值在(0,2)和(0,-2)达到,为25;
最小值在(0,0)达到,是9.

由x2+y2<=4,得x2<=4-y2,所以z=x2+4y2+9<=4-y2+4y2+9=3y2+13,又因为3y2+13>=13,所以z<=13