作业帮微分方程求解如图：
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:19:47
微分方程求解如图：
微分方程求解
如图：
微分方程求解如图：
首先对于其次的微分方程我们只要需要找到两组基础解系就可以了
这类方程首先我们试解x=e^(kt)代入原方程
=>e^(kt))''+w^2*e^(kt)=0=>k^2+w^2=>k=wi或者-wi
=>方程的解为x=(C1+C3i)e^(wti)+(C2+C4i)e^(-wti)x=(C1+C2)cos(wt)-(C4+C3)sin(wt)+((C1-C2)sin(wt)+(C2+C3)coswt)i(C1,C2,C3,C4为任意实数）
显然方程要求的是实数解
故x=Mcoswx+Nsinwx=Asin(wt+fai）（利用了同名三角函数辅助角定理）
不好意思,希腊字母打不出就用拼音了.
其实这个解也不是算出来的；这是物理解，不是数学解；
如果真要用数学方法解的话；需要求其特征根；
t^2+w^2=0;t只有两个复数解；
故根据其次方程的通解知道其解具有x=Asin(wt+a)的形式，至于为什么是这样，建议你自己翻翻常微分方程的书，因为其次方程通解的求法比较麻烦，并且其特征根不同，通解的形式也不一样；
譬如：如果其特征根为实数；那么其解具有指数形式；...
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其实这个解也不是算出来的；这是物理解，不是数学解；
如果真要用数学方法解的话；需要求其特征根；
t^2+w^2=0;t只有两个复数解；
故根据其次方程的通解知道其解具有x=Asin(wt+a)的形式，至于为什么是这样，建议你自己翻翻常微分方程的书，因为其次方程通解的求法比较麻烦，并且其特征根不同，通解的形式也不一样；
譬如：如果其特征根为实数；那么其解具有指数形式；
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∵微分方程d²x/dt²+ω²x=0的特征方程是r²+ω²=0
则它的特征根是r=±ωi
∴根据定理知，原微分方程的通解是 x=C1cos(ωt)+C2sin(ωt) (C1,C2是积分常数）
∵设sinφ=C1/√(C1²+C2²),则cosφ=C2/√(C1²+C...
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∵微分方程d²x/dt²+ω²x=0的特征方程是r²+ω²=0
则它的特征根是r=±ωi
∴根据定理知，原微分方程的通解是 x=C1cos(ωt)+C2sin(ωt) (C1,C2是积分常数）
∵设sinφ=C1/√(C1²+C2²),则cosφ=C2/√(C1²+C2²)
∴x=C1cos(ωt)+C2sin(ωt)
=√(C1²+C2²)[C1/√(C1²+C2²)*cos(ωt)+C2/√(C1²+C2²)*sin(ωt)]
=√(C1²+C2²)[sinφ*cos(ωt)+cosφ*sin(ωt)]
=√(C1²+C2²)sin(ωt+φ) (应用三角函数和角公式)
=Asin(ωt+φ) （取A=√(C1²+C2²)）
故原微分方程的通解是 x=Asin(ωt+φ) (其中C1和c2是积分常数，且sinφ=C1/√(C1²+C2²),A=√(C1²+C2²))
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