证明方程3x^3＋9(1＋根号3)x^2＋18(1＋根号3)x＋12＋10根号3=0有唯一实根

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 20:19:24

证明方程3x^3＋9(1＋根号3)x^2＋18(1＋根号3)x＋12＋10根号3=0有唯一实根
证明方程3x^3＋9(1＋根号3)x^2＋18(1＋根号3)x＋12＋10根号3=0有唯一实根

证明方程3x^3＋9(1＋根号3)x^2＋18(1＋根号3)x＋12＋10根号3=0有唯一实根
令f(x)=3x^3+9(√3+1)x^2+18(1+√3)x+12+10√3
f'(x)=9x^2+18(1+√3)x+18(1+√3)
=9(x+1+√3)^2
>=0恒成立
所以f(x)在R上为单调增函数,函数至多有一个零点
x趋向于+∞时,函数值也趋向于+∞；
x趋向于-∞时,函数值也趋向于-无穷大,由于函数连续,至少有一个零点.
综合以上两点,f(x)有且仅有一个零点,即方程f（x）=0有唯一实根
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（1）存在性
当x趋于负无穷时，f（x）<0
当x趋于正无穷时，f（x）>0
故f（x）至少有一个实根
（2）唯一性
设f（x）=3x^3＋9(1＋根号3)x^2＋18(1＋根号3)x＋12＋10根号3
则f '（x）=9x^2+18(1＋根号3)x+18(1＋根号3)
△=[18(1＋根号3)]^2-4*9*18(1＋根号3)<0
...

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