二项式证明

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 03:08:18

二项式证明
二项式证明

二项式证明
∵C(n,k) = n!/(k!·(n-k)!),
∴对k ≥ 1,k·C(n,k) = n!/((k-1)!·(n-k)!) = n·(n-1)!/((k-1)!·(n-k)!) = n·C(n-1,k-1).
∴∑{0 ≤ k ≤ n} k·C(n,k)
= ∑{1 ≤ k ≤ n} k·C(n,k)
= ∑{1 ≤ k ≤ n} n·C(n-1,k-1)
= n·∑{1 ≤ k ≤ n} C(n-1,k-1)
= n·∑{0 ≤ k ≤ n-1} C(n-1,k)
= n·2^(n-1) (二项式定理展开(1+1)^(n-1)).

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