作业帮线性代数题!第9题的证明!最好写在纸上! 第9题的证明!最好写在纸上! 有些人就说大话,就没事了, 希望真诚相待!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 07:57:05
线性代数题!第9题的证明!最好写在纸上! 第9题的证明!最好写在纸上! 有些人就说大话,就没事了, 希望真诚相待!
线性代数题!第9题的证明!最好写在纸上!
第9题的证明!最好写在纸上!
有些人就说大话,就没事了,
希望真诚相待!
线性代数题!第9题的证明!最好写在纸上! 第9题的证明!最好写在纸上! 有些人就说大话,就没事了, 希望真诚相待!
AB,是m×n的矩阵,
设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组
β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组.
那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,
B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.
于是
A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.
因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,
α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,
即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)
设R(A)=r1 R(B)=r2
即A中有m-r1个零行 B中有m-r2个零行
将A和B中的零行全部置底
显然r1=r2时A+B得到的矩阵C底部仍有m-r1个零行
r1≠r2时C的分成上中下三部分
底部有 min{r1,r2}个零行 记为c2 个零行
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全部展开
设R(A)=r1 R(B)=r2
即A中有m-r1个零行 B中有m-r2个零行
将A和B中的零行全部置底
显然r1=r2时A+B得到的矩阵C底部仍有m-r1个零行
r1≠r2时C的分成上中下三部分
底部有 min{r1,r2}个零行 记为c2 个零行
中部有 max{r1,r2}-min{r1,r2} 行是零行加非零行 肯定是非零行
上部都是非零行加非零行
由此可知上部至多有m- max{r1,r2} 个零行 记为c1
则得到R(c)=m-c2-c1= m-min{r1,r2}-m+ max{r1,r2}=abs(r1-r2)<=abs(r1)+abs(r2)
即R(A+B)<=R(A)+R(B)
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