若a+b=2(a>0,b>0),y=(根号a的平方+4)+(根号b的平方+9),求Y的最小值?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 14:02:24
若a+b=2(a>0,b>0),y=(根号a的平方+4)+(根号b的平方+9),求Y的最小值?

若a+b=2(a>0,b>0),y=(根号a的平方+4)+(根号b的平方+9),求Y的最小值?
若a+b=2(a>0,b>0),y=(根号a的平方+4)+(根号b的平方+9),求Y的最小值?

若a+b=2(a>0,b>0),y=(根号a的平方+4)+(根号b的平方+9),求Y的最小值?
y=√[(a-0)²+(0+2)²]+√[(a-2)²+(0-3)²]
则y是 (a,0)到(0,-2),(2,3)的距离和
所以三点共线时最小
就是(0,-2),(2,3)的距离
所以y最小=√(2²+5²)=√29

作拉格朗日函数,设F(a,b,λ)=√(a²+4)+√(b²+9)+λ(a+b-2)
令Fa'=a/√(a²+4)+λ=0......(1) (Fa'表示F关于a的偏导数,以下类同)
Fb'=b/√(b²+9)+λ=0......(2)
Fλ'=a+b-2=0......(3)
解方...

全部展开

作拉格朗日函数,设F(a,b,λ)=√(a²+4)+√(b²+9)+λ(a+b-2)
令Fa'=a/√(a²+4)+λ=0......(1) (Fa'表示F关于a的偏导数,以下类同)
Fb'=b/√(b²+9)+λ=0......(2)
Fλ'=a+b-2=0......(3)
解方程组(1),(2),(3)得两组a1=4/5,b1=6/5;
a2=-4,b2=6。
∵当a1=4/5,b1=6/5时,y=√((4/5)²+4)+√((6/5)²+9)=√29
当a2=-4,b2=6时,y=√((-4)²+4)+√(6²+9)=5√5
又5√5>√29
∴y=√(a²+4)+√(b²+9)的最小值是√29。

收起