关于数学有界性的证明证明函数f(x)=x/1+x2在正无穷到负无穷内有界

关于数学有界性的证明证明函数f(x)=x/1+x2在正无穷到负无穷内有界
关于数学有界性的证明
证明函数f(x)=x/1+x2在正无穷到负无穷内有界

关于数学有界性的证明证明函数f(x)=x/1+x2在正无穷到负无穷内有界
没有特殊要求

本题可理解如下：
设函数f(x)在数集X有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
证明：充分性：
若f(x)上界 M 下界N
则：|f(x)|<=Max{M,N}
有界！
必要性：
反证法，假设f(x)在X上没有上界或下界。则：存在某数a，当x->a时，f(a)->∞，则|f(a)|-&...

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本题可理解如下：
设函数f(x)在数集X有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
证明：充分性：
若f(x)上界 M 下界N
则：|f(x)|<=Max{M,N}
有界！
必要性：
反证法，假设f(x)在X上没有上界或下界。则：存在某数a，当x->a时，f(a)->∞，则|f(a)|->+∞，则不存在一个A，使得任意的x∈X都有|f(x)|<A，这与函数f(x)在X上有界矛盾。所以，假设不成立，f(x)在X上即有上界又有下界。

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方法二：定义（函数f(x)在在(0,1]上无界，即是证明对于任意大的正数M，存在x∈(0,1]，使得|f(x)|＞M）对于任意大的正数M＞1，一定存在一个充分

1、当x=0的时候,f(0)=0，为定值，有界;
2、当x不等于0的时候：
f(x)=x/(1+x^2)=1/[(1/x)+x]
对于分母t=x+1/x,
当x>0，利用重要不等式公式，可知道t>=2,此时0当x<0,同理有t<=-2,此时有：-1/2<=f(x)<0.
综上所述有：
-1/2<=f(x)<=1/...

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1、当x=0的时候,f(0)=0，为定值，有界;
2、当x不等于0的时候：
f(x)=x/(1+x^2)=1/[(1/x)+x]
对于分母t=x+1/x,
当x>0，利用重要不等式公式，可知道t>=2,此时0当x<0,同理有t<=-2,此时有：-1/2<=f(x)<0.
综上所述有：
-1/2<=f(x)<=1/2.
故f（x）函数有界得证。

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证：
（1）设f(x)在[a,b]内无界，将[a,b]分成两个小区间[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界,把这个无界的区域记为[a1,b1]。再将之分成[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界...... 一直这样做下去。则[an,bn]都是无界的。 因为这样分过后，则必然存在n，使
lim(n趋无穷...

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证：
（1）设f(x)在[a,b]内无界，将[a,b]分成两个小区间[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界,把这个无界的区域记为[a1,b1]。再将之分成[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界...... 一直这样做下去。则[an,bn]都是无界的。 因为这样分过后，则必然存在n，使
lim(n趋无穷)an=lim(n趋无穷)bn. 从而 这与[an,bn]都是无界的矛盾。说明假设f(x)在[a,b]内无界是不正确的，也就证明了f(x)在[a,b]上是否有界.（有闭区间套定理来做）
（2）记R={f(x)|x在[a,b]}，由（1）可知，他是有界的。记A=INF R， B=SUP R 则，任意x,有
f(x)>=A .同时也存在K>0使f(x)<A+k，于是取k（n）=1/n （n=1、2、3、.....）则产生相应的一个数列x（n），且有 A=<f(x)<=A+k(n)=A+1/n
因为 x（n）有界，由B-W定理（有界子列必存在收敛子列）存在m，使lim(n趋无穷)x（n）=m
又A=<f(x)<=A+1/n 两边取极限，由函数的夹逼性，则 f(m)=A. 也就是说，存在一点m，使
f(m)=min f(x)=inf R= A 用同样的方法，也能证明最大值 。
实际方法有很多，实数完备性的7大定理都是相互可证明的。

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假如f(x)在[a,b]上无界，设[a,b]＝[a1,b1],对分之，两个闭区间中至少有一个使f(x)无界，令其为
[a2,b2].再对分之，得到[a3,b3].等等。得到一个闭区间套
[a1,b1]＞（借用，意为包含）[a2,b2]＞……。|[an,bn]|＝（b-a）/2^n→0.
f(x)在每个[an,bn]上无界。
从区间套定理，存在ξ∈每个[an,bn]。...

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假如f(x)在[a,b]上无界，设[a,b]＝[a1,b1],对分之，两个闭区间中至少有一个使f(x)无界，令其为
[a2,b2].再对分之，得到[a3,b3].等等。得到一个闭区间套
[a1,b1]＞（借用，意为包含）[a2,b2]＞……。|[an,bn]|＝（b-a）/2^n→0.
f(x)在每个[an,bn]上无界。
从区间套定理，存在ξ∈每个[an,bn]。当然ξ∈[a,b].，设f(ξ)＝c。∵f(x)在[a,b]上连续,存在δ＞0
使得x∈（ξ-δ，ξ+δ）时，f(x)∈（c-1,c+1）,
注意|（ξ-δ，ξ+δ）|＝2δ. ·取大n0.使（b-a）/2^n0＜δ。则[an0,bn0]＜（包含于）（ξ-δ，ξ+δ）
∴x∈[an0,bn0]时,f(x)∈（c-1,c+1）,这与“f(x)在每个[an,bn]上无界”矛盾。
∴f(x)在[a,b]上有界。[证明中设ξ不是a,b.请楼主稍作补充，完成这次证明。]

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这步根据的是函数极限的定义，对任意的伊普西龙，存在xo的一个邻域，能满足下式
|f(x)-A|<伊普西龙
既然存在极限，那取伊普西龙=1肯定存在一个邻域满足
|f(x)-A|<1即
A-1<f(x)<A+1

方法一：
用函数极限与数列极限的关系可以很容易说明结论“在x趋近于0+时不是无穷大”，而函数是无穷大则可以说明函数无界
取xn＝1/2nπ，n为正整数，则n→∞时，xn→0＋，f(xn)＝0，所以f(x)不是x→0+时的无穷大
取yn＝1/(2nπ+π/2)，n为正整数，则n→∞时，yn→0＋，f(yn)＝2nπ+π/2→＋∞，所以f(x)当x→0+时无界，从而f(x)在(...

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方法一：
用函数极限与数列极限的关系可以很容易说明结论“在x趋近于0+时不是无穷大”，而函数是无穷大则可以说明函数无界
取xn＝1/2nπ，n为正整数，则n→∞时，xn→0＋，f(xn)＝0，所以f(x)不是x→0+时的无穷大
取yn＝1/(2nπ+π/2)，n为正整数，则n→∞时，yn→0＋，f(yn)＝2nπ+π/2→＋∞，所以f(x)当x→0+时无界，从而f(x)在(0,1]上无界
方法二：定义
（函数f(x)在在(0,1]上无界，即是证明对于任意大的正数M，存在x∈(0,1]，使得|f(x)|＞M）
对于任意大的正数M＞1，一定存在一个充分大数n，使得2nπ+π/2＞M，所以x＝1/(2nπ+π/2)∈(0,1]，而f(x)＝2nπ+π/2＞M，所以f(x)在(0,1]上无界
（函数f(x)当x→0+时不是无穷大，即是证明存在正数M，对于任意的正数X，存在x，x＞X，但是|f(x)|＜M）
存在正数M＝1，对于任意的正数X，存在正整数n，使得2nπ＞1/X，取x＝1/(2nπ)，则x＞X，而|f(x)|＝0＜M，所以f(x)当x→0+时不是无穷大

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