作业帮如何证明根号2加根号3再加根号5是无理数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 15:26:14
如何证明根号2加根号3再加根号5是无理数
如何证明根号2加根号3再加根号5是无理数
如何证明根号2加根号3再加根号5是无理数
设a=√2+√3+√5>0是有理数
则a-（√2+√3）=√5 两边平方
[a-（√2+√3）]^2=5 是有理数
所以a^2+2+3-2a（√2+√3)+2√6=5 1）
==》 -a（√2+√3)+√6 为有理数
平方得到 a^2(2+3+2√6)+6-2a√3-3a√2为有理数 2）
==》1）-2）得到
(2-2a^2)√6+a√2为有理数
平方 ==> a(1-a^2)√3为有理数 ==>a=1,显然矛盾
反证
若√3是有理数，则有m/n的形式,m与n既约
所以3=m^2/n^2
m^2=3*n^2，那么m一定是3的倍数，有m=3k
所以9k^2=3*n^2
n^2=3*k^2,那么n也一定是3的倍数
至此，由m与n既约，推出矛盾。
综上，√3是无理数
同理: √2,√5匀为无理数
所以，√2+√3+√5也是无理数...
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反证
若√3是有理数，则有m/n的形式,m与n既约
所以3=m^2/n^2
m^2=3*n^2，那么m一定是3的倍数，有m=3k
所以9k^2=3*n^2
n^2=3*k^2,那么n也一定是3的倍数
至此，由m与n既约，推出矛盾。
综上，√3是无理数
同理: √2,√5匀为无理数
所以，√2+√3+√5也是无理数
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