已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 20:30:39
已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE
已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE
已知,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DF⊥AC于F,E为DF中点,求证:BF⊥AE
证明:
连接AD,过点F作FG⊥BC于点G,过点E作EH⊥BC于点H,作EK⊥AD于点K.
设BD=DC=a,AD=h,AB=AC=t
则有t²=a²+h²
因为SΔADC= DC•AD /2=ah/2
SΔADC= AC•DF /2=tDF/2
所以有ah/2= tDF/2
从而DF=ah/t
易证ΔDGF∽ΔADC
从而FG/DF=CD/AC,DG/DF=AD/AC
从而FG=DF•CD/AC= a²h/t²
DG=DF•AD/AC= ah²/t²
进而EH=FG/2= a²h/2t²,
KE=DH=DG/2= ah²/2t²
于是在直角三角形BGF和直角三角形AKE中,
FG/BG=FG/(BD+DG)=(a²h/t²)/〔a+( ah²/t²)〕=ah/(t²+h²)
EK/AK=EK/(AD-KD)= EK/(AD-EH)=( ah²/2t²)/〔h-(a²h/2t²)〕=ah/(2t²-a²)=ah/(t²+h²)
从而ΔBGF∽ΔAKE(或tan∠GBF= tan∠KAE)
从而∠GBF=∠KAE
设AD与BF的交点为M,AE与BF的交点为N,则有
∠ANM=180°-∠NAM-∠AMN=180°-∠EAK-∠AMN=180°-∠GBF-∠BMD=∠BDA=90°
即BF⊥AE
证完.
取CF的中点G,连接DG,DA ∵D是BC的中点,AB = AC ∴AD⊥BC ∵DF⊥AC ∴∠DAF = ∠FDC ∴△DAF∽△DFC ∴AF:DF = DF:CF ∵E是DF的中点,G是FC的中点 ∴AF:DF = EF:FG ∴△AFE∽△DFG ∴∠FAE = ∠FDG ∵G是FC的中点 ∴在△CBF中,DG//BF ∴∠GDF = ∠BFD ∴∠FAE = ∠BFD ∵AF⊥DF ∴∠FAE + ∠FEA = 90° ∴∠BFD + ∠FEA = 90° ∴AE⊥BF
dd