满足条件AB=2,AC=根号2BC的△ABC的面积最大值我想知道128是怎么来的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 08:16:29
满足条件AB=2,AC=根号2BC的△ABC的面积最大值我想知道128是怎么来的
满足条件AB=2,AC=根号2BC的△ABC的面积最大值
我想知道128是怎么来的
满足条件AB=2,AC=根号2BC的△ABC的面积最大值我想知道128是怎么来的
满足条件AB=2,AC=√2*BC,△ABC的面积最大值
根据:三角形二边之和大于第三边
AB=2,
假设BC>2
则2+BC>AC
2+BC>√2*BC
BC(√2-1)
设BC=x,则AC=根号2x,根据面积公式有S三角形ABC=1/2AB×BC×SINB=1/2×2X根号1-COS2B,根据余弦定理有COSB=AB2+BC2-AC2/2AB×BC=4-x2/4x,,代入上式得S三角形ABC=x根号1-(4-x/4x)2=根号128-(x-12)2/16.由三角形三边关系有根号2x+x>2,x+2>根号2x ,解得2根号2-2<x<2根号2+2 ,当x=2根号3...
全部展开
设BC=x,则AC=根号2x,根据面积公式有S三角形ABC=1/2AB×BC×SINB=1/2×2X根号1-COS2B,根据余弦定理有COSB=AB2+BC2-AC2/2AB×BC=4-x2/4x,,代入上式得S三角形ABC=x根号1-(4-x/4x)2=根号128-(x-12)2/16.由三角形三边关系有根号2x+x>2,x+2>根号2x ,解得2根号2-2<x<2根号2+2 ,当x=2根号3是三角形面积最大为2根号2
收起
方法一:
由余弦定理,有:
cosC=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC×BC)=(2BC^2+BC^2-4)/(2√2BC^2),
∴(cosC)^2=[3/(2√2)-√2/BC^2]^2=9/8-3/BC^2+2/BC^4,
∴(sinC)^2=1-(cosC)^2=1-(9/8-3/BC^2+2/BC^4)=-1/8+3/BC^2-2/BC^4,
全部展开
方法一:
由余弦定理,有:
cosC=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC×BC)=(2BC^2+BC^2-4)/(2√2BC^2),
∴(cosC)^2=[3/(2√2)-√2/BC^2]^2=9/8-3/BC^2+2/BC^4,
∴(sinC)^2=1-(cosC)^2=1-(9/8-3/BC^2+2/BC^4)=-1/8+3/BC^2-2/BC^4,
∴sinC=√(-1/8+3/BC^2-2/BC^4)。
∴△ABC的面积
=(1/2)AC×BCsinC=(1/2)√2BC^2√(-1/8+3/BC^2-2/BC^4)
=(√2/2)√(-BC^4/8+3BC^2-2)=(√2/2√8)√(-BC^4+24BC^2-16)
=(1/4)√[128-(BC^4-24BC^2+144)]=(1/4)√[128-(BC^2-12)^2]。
显然,当BC^2-12=0时,△ABC的面积有最大值为:(1/4)√128=(1/4)√(64×2)=2√2。
方法二:
设BC=x,则AC=√2x。
∴△ABC的半周长p=(x+√2x+2)/2。
∴p-BC=(x+√2x+2)/2-x=(√2x+2-x)/2,
p-AC=(x+√2x+2)/2-√2x=(x+2-√2x)/2,
p-AB=(x+√2x+2)/2-4=(x+√2x-2)/2。
∴p(p-AC)=[(x+2)^2-2x^2]/4=(x^2+4x+4-2x^2)/4=[4x-(x^2-4)]/4,
(p-BC)(p-AB)=[2x^2-(x-2)^2]/4=[4x+(x^2-4)]/4。
∴p(p-AC)(p-BC)(p-AB)=[16x^2-(x^2-4)^2]/16。
由海伦公式,有:
△ABC的面积
=√[p(p-AC)(p-BC)(p-AB)]=(1/4)√[16x^2-(x^2-4)^2]
=(1/4)√(16x^2-x^4+8x^2-16)=(1/4)√(-x^4+24x-16)
=(1/4)√[128-(x^4-24x^2+144)]=(1/4)√[128-(x^2-12)^2]。
显然,当x^2-12=0时,△ABC的面积有最大值为:(1/4)√128=(1/4)√(64×2)=2√2。
方法三:
以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,使点C在x轴的上方。
显然,A、B的坐标分别是(-1,0)、(1,0)。
令点C的坐标为(m,n)。则:△ABC的面积=(1/2)|AB|n=(1/2)×2n=n。
∵|AC|=√2|BC|,
∴√[(m+1)^2+(n-0)^2]=√2×√[(m-1)^2+(n-0)^2],
∴(m+1)^2+n^2=2(m-1)^2+2n^2,
∴n^2=(m+1)^2-2(m-1)^2=m^2+2m+1-2m^2+4m-2=-m^2+6m-1
=-(m^2-6m+9)+8=-(m-3)^2+8。
∴当m-3=0时,n^2有最大值为8,∴n有最大值为2√2,即:△ABC的面积最大值为2√2。
收起