作业帮【高考】过x轴上一点P向圆x^2+(y-2)^2＝1做切线,切点分别为A、B,则三角形PAB面积的最小值是_____
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 07:18:27
【高考】过x轴上一点P向圆x^2+(y-2)^2＝1做切线,切点分别为A、B,则三角形PAB面积的最小值是_____
【高考】过x轴上一点P向圆x^2+(y-2)^2＝1做切线,切点分别为A、B,则三角形PAB面积的最小值是_____
【高考】过x轴上一点P向圆x^2+(y-2)^2＝1做切线,切点分别为A、B,则三角形PAB面积的最小值是_____
首先证明：当点P与原点O重合时,△PAB的面积最小.
令圆心为C.
过原点O作圆C的切线,切圆C于E,过E作D⊥OC于D,在x轴上原点外任取一点Q,过Q作圆C的一条切线,切圆C于R,再过R作RS⊥QC交QC于S.
显然,由直角△OCQ得：QC＞OC,而RC＝EC,通过勾股定理,容易推出：QR＞OE.
由锐角三角函数定义,得：cos∠QCR＝RC/QC, cos∠OCE＝EC/OC.
可见：cos∠OCE＞cos∠QCR,锐角的余弦函数是减函数,所以：∠QCR＞∠OCE,
再由锐角三角函数定义,得：sin∠QCR＝RS/RC, sin∠OCE＝ED/EC,
锐角的正弦函数是增函数,所以：sin∠QCR＞sin∠OCE,即：RS/RC＞ED/EC,得：RS＞ED
容易证得：∠QRS＝∠QCR, ∠OED＝∠OCE,所以：∠QRS＞∠OED.
考虑到：△QSR的面积＝0.5QR×RS×sin∠QRS, △ODE的面积＝0.5OE×ED×sin∠OED
结合：QR＞OE,RS＞ED,∠QRS＞∠OED,得：△QSR的面积＞△ODE的面积.
设由O作圆C切线的另一切点为F,由Q作圆C切线的另一切点为G.
则容易证得：△QSR的面积＝△QGR面积的一半, △ODE的面积＝△QFE面积的一半,
得：△QGR的面积＞△QFE的面积.
从而说明：当点P与原点O重合时,△PAB的面积最小.
当点P与原点O重合时,PC＝2,AC＝1,可见∠APB/2＝30°,得∠APB＝60°.
由勾股定理,得：PA＝√3.
于是：此时的△PAB的面积＝0.5PA^2×sin∠APB＝3√3/4.
即：△PAB面积的最小值是3√3/4.