作业帮证明f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 07:43:07
证明f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数
证明f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数
证明f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数
证明：令01
∴f(x2)-f(x1) =log(2)(x2-x1x2)/(x1-x1x2)>0
∴f(x2).>f(x1)
∴f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数
看来你还没学导数。
那就用定义证明，为了方便，下面证明过程中对数的底数2予以省略。
设0
=log{[x2/(1-x2)]/[x1/(1-x1)]}
=log{x2(1-x1)/[x1(1-x2)]}
=log[(x2-x1x2)/(x1-x1x2)]...
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看来你还没学导数。
那就用定义证明，为了方便，下面证明过程中对数的底数2予以省略。
设0
=log{[x2/(1-x2)]/[x1/(1-x1)]}
=log{x2(1-x1)/[x1(1-x2)]}
=log[(x2-x1x2)/(x1-x1x2)]
而(x2-x1x2)/(x1-x1x2)分子分母都是正数，并且分子大于分母。
因此(x2-x1x2)/(x1-x1x2)>1
所以f(x2)-f(x1)=log[(x2-x1x2)/(x1-x1x2)]>0
因此f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数.
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令g(x)=x/(1-x),则g(x)的导数为1/（1-x）²,故g(x)在(0,1)上是增函数
设x1,x2都属于（0，1）且x1>x2,则g(x1)>g(x2),即x1/(1-x1)>x2/(1-x2)
即x1*(1-x2)/((1-x1)*x2)>1
所以f(x1)-f(x2)=log(2)(x1/1-x1)-log(2)(x2/1-x2)
=log...
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令g(x)=x/(1-x),则g(x)的导数为1/（1-x）²,故g(x)在(0,1)上是增函数
设x1,x2都属于（0，1）且x1>x2,则g(x1)>g(x2),即x1/(1-x1)>x2/(1-x2)
即x1*(1-x2)/((1-x1)*x2)>1
所以f(x1)-f(x2)=log(2)(x1/1-x1)-log(2)(x2/1-x2)
=log(2)(x1*(1-x2)/((1-x1)*x2))>0
故f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数
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