作业帮已知两个等差数列5,8,11···和3,7,11···都有100项,问它们有多少相同的项?并求出所有相同项的和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 11:40:53
已知两个等差数列5,8,11···和3,7,11···都有100项,问它们有多少相同的项?并求出所有相同项的和
已知两个等差数列5,8,11···和3,7,11···都有100项,问它们有多少相同的项?并求出所有相同项的和
已知两个等差数列5,8,11···和3,7,11···都有100项,问它们有多少相同的项?并求出所有相同项的和
设等差数列5,8,11···的通项式为an,3,7,11···的通项式为bn,则
an=3n+2,bn=4n-1 ,若两数列有相同项,则有3n1+2=4n2-1,整理得n1=4n2/3-1.
又因为n1,n2小于等于100,且n1,n2是自然数,故相同项=100/3-1=32项,其通项式=9n+2；
其相同项组成的数列是以11为首项,公差为12的等差数列,故所有相同项的和=11*32+32*（32-1）/2*12=6304
由题意，两个等差数列5，8，11···和3，7，11· 的相等项也是等差数列
通项为11+12（n-1）
又 等差数列5，8，11···第100项为302
所以11+12（n-1）最大项是第25项，即299
所以他们所有相同项的和为
(11+299)*25/2=3875
解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数...
全部展开
解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
其和S25=11×25+
25×24
2
×12=3875．
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n-1．
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=
4
3
m-1．
又m、n∈N*，∴设m=3r（r∈N*），
得n=4r-1．
根据题意得
1≤3r≤1001≤4r-1≤100
解得1≤r≤25（r∈N*）．
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S25=11×25+
25×24
2 ×12=3875．
收起
设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=11+12（n-1）=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
全部展开
设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=11+12（n-1）=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
所以他们所有相同项的和为
(11+299)*25/2=3875
收起