作业帮设D是△ABC边BC延长线上一点,向量AD=a向量AB+（1-a)x向量AC,若关于x的方程2sin^2x-(a+1)sinx+1=0在【0,2π）上恰有两解,则a的取值范围?我知道根据向量的关系得出a
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 12:54:45
设D是△ABC边BC延长线上一点,向量AD=a向量AB+（1-a)x向量AC,若关于x的方程2sin^2x-(a+1)sinx+1=0在【0,2π）上恰有两解,则a的取值范围?我知道根据向量的关系得出a
设D是△ABC边BC延长线上一点,向量AD=a向量AB+（1-a)x向量AC,若关于x的方程2sin^2x-(a+1)sinx+1=0在【0,2π）上恰有两解,则a的取值范围?
我知道根据向量的关系得出a
设D是△ABC边BC延长线上一点,向量AD=a向量AB+（1-a)x向量AC,若关于x的方程2sin^2x-(a+1)sinx+1=0在【0,2π）上恰有两解,则a的取值范围?我知道根据向量的关系得出a
“（1-a)x向量AC”中的x是乘号吧?
【解】：
AD=aAB+(1-a)AC（表示向量,下同）
AD=AC-CD
联立得：a(AB-AC)=aBC=-CD,
由于C位于BD上,所以有：a0,得：a>2√2-1或a
2sin^2x-(a+1)sinx+1=0
令t=sinx，其值域为[0,1)
2t^2-(a+1)t+1=0
△=(a+1)^2-4*2*1≥>0
a≤-(2√2)-1或a≥2√2-1
△=0时有重根，sinx=0，等式不成立，故在[0，2π）总有两解。
当△>0时，
t=[a+1±√△]/4
-1
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2sin^2x-(a+1)sinx+1=0
令t=sinx，其值域为[0,1)
2t^2-(a+1)t+1=0
△=(a+1)^2-4*2*1≥>0
a≤-(2√2)-1或a≥2√2-1
△=0时有重根，sinx=0，等式不成立，故在[0，2π）总有两解。
当△>0时，
t=[a+1±√△]/4
-1
因为B,C,D三点共线，且D点在BC外，所以：
a<0
综上所述：a<-4或a=-1-2√2
注：对于a=-1-2√2 一方面是a<0导致=-1+2√2不可取，一方面是使重根存在，由于正弦函数比较特殊，一值可对应多个x，故满足题意。
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首先令T=sinx,若关于x的方程2sin^2x-(a+1)sinx+1=0在【0，2π）上恰有两解,说明方程2T^2-(a+1)T+1=0得解都是正的，只有sinx>0时，才有sinx=sin(PI-x).令f(T)=2T^2-(a+1)T+1,因为f(0)=1>0,所以只要对称轴x=a+1>0即a>-1即可，加上你求出的a<0就是-1
（1）由AD=aAB+(1-a)AC.====>AD-AC=a(AB-AC).===>CD=aCB.易知，向量CD,CB共线但方向相反，故a<0.(2)设两解为0≤x1≤x2<2π。===>-1≤sinx1,sinx2≤1.====>问题可化为，若函数f(x)=2x^2-(a+1)x+1与x轴两交点中，恰仅有一个在[-1,1]内，求a的范围。易知，△=（a+1)^2-8≥0.===>a≥(2√2)...
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（1）由AD=aAB+(1-a)AC.====>AD-AC=a(AB-AC).===>CD=aCB.易知，向量CD,CB共线但方向相反，故a<0.(2)设两解为0≤x1≤x2<2π。===>-1≤sinx1,sinx2≤1.====>问题可化为，若函数f(x)=2x^2-(a+1)x+1与x轴两交点中，恰仅有一个在[-1,1]内，求a的范围。易知，△=（a+1)^2-8≥0.===>a≥(2√2)-1,或a≤－(2√2)-1.因两根x1*x2=1/2>0.即两根同号。故两根均负时，数形结合有x1+x2=(a+1)/2<0,且f(-1)<0.===>a<-1,且a<-4.===>a<-4.两根均正时，数形结合有（a+1)/2>0,f(1)<0.===>a>2.两根相同且在[-1.1]内时，有a=-1±(2√2).且x1+x2=(a+1)/2,x1x2=1/2,x1=x2===>a=-1-2√2.综上可知，a<-4,或a=-1-2√2.
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