作业帮已知正三角形内一点到各顶点的距离,求该三角形的面积P为等边△ABC内一点,PA＝4,PB＝2（√3）,PC＝2,则S△ABC为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 10:11:18
已知正三角形内一点到各顶点的距离,求该三角形的面积P为等边△ABC内一点,PA＝4,PB＝2（√3）,PC＝2,则S△ABC为多少?
已知正三角形内一点到各顶点的距离,求该三角形的面积
P为等边△ABC内一点,PA＝4,PB＝2（√3）,PC＝2,则S△ABC为多少?
已知正三角形内一点到各顶点的距离,求该三角形的面积P为等边△ABC内一点,PA＝4,PB＝2（√3）,PC＝2,则S△ABC为多少?
代数方法：
把等边△ABC放入平面直角坐标系,B在原点,BC在x轴正半轴,A在第一象限
设等边△ABC的边长为k,P(x,y)
则有A(k/2,√3k/2)、B(0,0)、C(k,0)
|PA|²=(x-k/2)²+(y-√3k/2)²=16.①
|PB|²=x²+y²=12.②
|PC|²=(x-k)²+y²=4.③
②-③得x²-(x-k)²=8
即k(2x-k)=8
得x=(k²+8)/2k.④
②-①得x²-(x-k/2)²+y²-(y-√3k/2)²=-4
即k(2x-k/2)+√3k(2y-√3k/2)=-8
得y=(2k²-2kx-8)/2√3k=(2k²-k²-8-8)/2√3k=(k²-16)/2√3k.⑤
④、⑤代入②得(k²+8)²/4k²+(k²-16)²/12k²=12
即(k²)²-32k²+112=0
即(k²-4)(k²-28)=0
得k²=28,
S△ABC=k²sin(π/3)/2=28√3/4=7√3
楼上的几何方法也很不错
假设这个三角形的边长为a，则这个三角形的面积为
√3*a^2/4;(4分之根号3倍的a的平方)。
连接p点和三角形的各个顶点，得到三个三角形，他们的面积之和为（2+4+√3）*a/2；和上式相等，可以求出三角形的边长，这样就知道了三角形的面积。
因为PC＝PB
所以 点P在BC的中垂线上
延长AP交BC于M 设PM=x，BM=y，
（4+x）的平方+y的平方=4y的平方
x的平方+y的平方=4
解出x的值就可以算面积拉
假定等边△ABC的边长为k，作BC边上的高AD，则BD=k/2，由勾股定理得：
AD²
=AB²-BD²
=k²-k²/4
=3k²/4
AD=(√3)k/2
面积S=1/2×BC×AD=1/2×k×(√3)k/2=(√3)k²/4
以PA为边向△ABC外作一...
全部展开
假定等边△ABC的边长为k，作BC边上的高AD，则BD=k/2，由勾股定理得：
AD²
=AB²-BD²
=k²-k²/4
=3k²/4
AD=(√3)k/2
面积S=1/2×BC×AD=1/2×k×(√3)k/2=(√3)k²/4
以PA为边向△ABC外作一等边△APE(E点在AB边外)，连结BE，可知：∠BAE+∠PAB=∠BAC=∠PAE=∠CAP+∠PAB=60°，所以：∠BAE=∠CAP；AB=AC，AE=AP，因此，△BAE≌△CAP；则：BE=CP=2，
在△BPE中，PE=4，PB=2（√3），BE=2，因为：2²+[2（√3）]²=4²
所以，△BPE是一个以∠EBP为直角的直角三角形，所以：
sin∠BPE=BE/EP=2/4，∠BEP=30°
∠APB=∠APE+∠BPE=60°+30°=90°
在△ABP中，由勾股定理得：
k²=AB²=PA²+PB²=4²+ [2（√3）]²=16+12=28
综上，S△ABC=(√3)k²/4=(√3)/4×28=28(√3)
收起
不好意思,不太会..
但我可以提供你一个相似的问题
http://zhidao.baidu.com/question/39817991.html?si=8
呵呵^^~~