作业帮反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 00:45:28
反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴.
反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴.
反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴.
下图中,⊙A(蓝)与⊙B(绿)关于⊙O(红)互为反演.
直线AB分别交⊙A, ⊙B于M,N和M',N'.(圆心A,B并未画出).
设⊙O半径为r,以O为原点,各点坐标标注如图.
取P为坐标x = (ab+r²)/(a+b)的点.
则P对⊙O的幂 = PO²-r² = x²-r²
= ((ab+r²)²-r²(a+b)²)/(a+b)²
= (ab-r(a+b)+r²)(ab+r(a+b)+r²)/(a+b)²
= (a-r)(b-r)(a+r)(b+r)/(a+b)².
P对⊙A的幂 = PM·PN = (x-a)(x-b) (注意这里PM,PN是有向线段,可取负值)
= (ab-a(a+b)+r²)(ab-b(a+b)+r²)/(a+b)²
= (r²-a²)(r²-b²)/(a+b)²
= (a-r)(b-r)(a+r)(b+r)/(a+b)².
P对⊙B的幂 = PM'·PN' = (x-r²/a)(x-r²/b) (同上)
= (ax-r²)(bx-r²)/ab
= (a(ab+r²)-r²(a+b))(b(ab+r²)-r²(a+b))/(ab(a+b)²)
= (a²-r²)(b²-r²)/(a+b)²
= (a-r)(b-r)(a+r)(b+r)/(a+b)².
于是,P对⊙A, ⊙B, ⊙O的幂都相等,
从而其中任意两个圆的根轴都经过P点.
又由根轴与连心线垂直,所以三条根轴都是过P并与AB垂直的唯一的直线.
因此三圆共根轴(黄线),证毕.
注:图中这种情形其实有非常简单的证明.
因为⊙A与⊙O相交,所以二者的根轴是两圆公共弦所在直线.
而与⊙O的交点在反演下不变,所以⊙B也与⊙O交于同样两点.
⊙B与⊙O的根轴也是同一公共弦所在直线.
当然,⊙A与⊙B的根轴也一样,因此三圆共根轴.
不过这只适用于⊙A与⊙O相交或相切的情形,相离或内含时就行不通了.
虽然也有纯几何证明,不过分情况画图比较麻烦.
所以我选用了可以统一处理的上述代数证明.