作业帮已知正整数a,b,c,且a+b+c=1.求（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:18:37
已知正整数a,b,c,且a+b+c=1.求（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2的最小值
已知正整数a,b,c,且a+b+c=1.求（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2的最小值
已知正整数a,b,c,且a+b+c=1.求（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2的最小值
解释一下楼上a²+1/81a²≥2/9,b²+1/81b²≥2/9,c²+1/81c²≥2/9原因
正数a,b,c,a+b+c=1,（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2可知abc等价,预测a=b=c=1/3时取最小值（什么原理忘了,补奥数时有讲）,记住,预测很重要,也可以说是数学感觉、期望,然后向期望努力.
展开是尝试,你能问这问题是懂得.
然后就简单了,a²+1/a²用基本不等式取最小值,要a=1/3,就有楼上的a²+1/81a²了
因a²+1/81a²≥2/9, b²+1/81b²≥2/9, c²+1/81c²≥2/9
则a²+b²+c²+(1/a²+1/b²+1/c²)/81≥2/3
则（a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²
...
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因a²+1/81a²≥2/9, b²+1/81b²≥2/9, c²+1/81c²≥2/9
则a²+b²+c²+(1/a²+1/b²+1/c²)/81≥2/3
则（a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²
=6+a²+1/a²+b²+1/b²+c²+1/c²
≥6+2/3+80(1/a²+1/b²+1/c²)/81
又1/a²+1/b²+1/c²≥3(1/abc)^(2/3)
又1=a+b+c≥3(abc)^(1/3)
=>(1/abc)^(2/3)≥9
则1/a²+1/b²+1/c²≥27
则原式≥20/3+80*27/81=100/3
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