设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 05:44:04

设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵
设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵

设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵
首先,当n > 1,关于伴随矩阵的秩,有如下结果:
若r(A) = n,则r(A*) = n;
若r(A) = n-1,则r(A*) = 1;
若r(A) < n-1,则r(A*) = 0.
证明:当r(A) = n,有A可逆,|A| ≠ 0.
于是由A*A = |A|·E可得A* = |A|·A^(-1)也可逆.
当r(A) = n-1,A有非零的n-1阶子式,故A* ≠ 0,r(A*) ≥ 1.
又A*A = |A|·E = 0,故r(A*)+r(A) ≤ r(A*A)+n = n,即得r(A*) = 1.
当r(A) < n-1,A的n-1阶子式全为0,故A* = 0,r(A*) = n.
回到原题,由条件A* = A'得r(A*) = r(A') = r(A).
当n > 2,根据前述结论,只有r(A) = n,故|A| ≠ 0.
对A*A = |A|·E取行列式得|A*|·|A| = |A|^n.
于是有|A|^2 = |A'|·|A| = |A*|·|A| = |A|^n,解得|A| = 1 (|A|为非零实数).
进而得A'A = A*A = E,即A为正交矩阵.
n = 1,2时是有反例的,例如A = 2E.

设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵设A为n阶正阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明：|A*|=|A|^(n-1) 关于伴随矩阵秩的问题设A是n阶矩阵 n大于等于3 则A的伴随矩阵的伴随矩阵的秩有几种取职情况最好给出点证明谢谢已知伴随矩阵求矩阵A的伴随矩阵等于[2 51 3]求矩阵A A为n阶非零矩阵,A的伴随矩阵等于A的转置,证A的行列式不等于0 设A是n(n>1)阶矩阵,A的n次方是A的伴随矩阵,若绝对值A=2,则绝对值3A*等于多少 A矩阵伴随的伴随乘以A的伴随矩阵等于什么即(A*)*A*=? 设A,B都是n阶的正交矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正交矩阵设A为3阶矩阵,A的行列式等于1/2,求A的伴随矩阵和逆矩阵 A的伴随矩阵的伴随矩阵为什么等于A的行列式的n-2次方乘A 设A是N阶非零实方阵且满足A的伴随矩阵与A的转置矩阵相等,证明det(A)不等于零. 请问设A是n阶矩阵为什么A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,证明|A*|=|A|n-1 对于矩阵A.为什么A的秩等于n-1时,它的伴随矩阵是非零矩阵? 设n阶矩阵A非奇异（n≥2）,求A的伴随矩阵的伴随矩阵.谢谢刘老师设n阶矩阵A、B且detA=2,detB=-3,A*为A的伴随矩阵,则det(2A*B^-1)等于多少? 设n阶矩阵,r(A)=n-1,证明:r(A*)=1 (A*)表示A的伴随矩阵.