高二数列题目数列｛an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……求证：1.｛Sn\n}是等比数列 2.求｛an}的通项公式.这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 01:00:43

$高二数列题目数列｛an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……求证：1.｛Sn\n}是等比数列 2.求｛an}的通项公式.这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~$

高二数列题目数列｛an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……求证：1.｛Sn\n}是等比数列 2.求｛an}的通项公式.这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~
高二数列题目
数列｛an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……
求证：1.｛Sn\n}是等比数列 2.求｛an}的通项公式.
这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~

高二数列题目数列｛an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……求证：1.｛Sn\n}是等比数列 2.求｛an}的通项公式.这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~
1、a(n+1）=（n+2)Sn/n,n=1,2,3...
=>S(n+1)-Sn=(n+2)Sn/n,=1,2,3...
=>S(n+1)=2(n+1)Sn/n,n=1,2,3...
=>[S(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2,n=1,2,3...
所以,{Sn/n}是首项为S1/1=a1/1=1,公比为2的等比数列.
2、因为Sn/n=1*2^(n-1)
=>Sn=n*2^(n-1)
=>Sn-S(n-1)=an=(n+1)*2^(n-2),n=2,3,4...
又因为a1=1,也满足上式,
所以,综上述,有an=(n+1)*2^(n-2),n=1,2,3..

a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知式子中化简得S(n+1)=2(n+1)Sn/n。再化简就的到答案了。

a(n+1)=S(n+1)-Sn,代入可得，S(n+1)/(n+1)=2Sn/n,得证。
设Sn/n=Tn,由上可知，Tn为等比数列，公比为2，首项为1，Tn=2'_n-1,Sn=n*2'_n-1,an=n*2'_(n-2)+2'_n-2