作业帮关于函数连续性可导性的问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 17:31:03
关于函数连续性可导性的问题
关于函数连续性可导性的问题 
关于函数连续性可导性的问题
f(x) = x+1 ; 0<=x<1
= (1/2)x^2 ; 1<=x<=2
g(x) =∫(0->x) f(t)dt
for x<1
g(x) = ∫(0->x) (t+1) dt
= x^2/2 + x
for 1<=x<=2
g(x) = ∫(0->1)...
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f(x) = x+1 ; 0<=x<1
= (1/2)x^2 ; 1<=x<=2
g(x) =∫(0->x) f(t)dt
for x<1
g(x) = ∫(0->x) (t+1) dt
= x^2/2 + x
for 1<=x<=2
g(x) = ∫(0->1) (t+1) dt + ∫(1->x) (1/2)t^2 dt
= (3/2) + (1/6)(x^3-1)
= (1/6)(x^3+ 8)
lim(x->1-)g(x) = lim(x->1-)(x^2/2 +x) = 3/2
lim(x->1+)g(x)=lim(x->1+)[(1/6)(x^3+ 8)] = 3/2 = lim(x->1-)g(x)
g(x)连续 at x=1
for x<1
g'(x) = x+1
for 1
lim(x->1-) g'(x) = lim(x->1-)(x+1) =2
lim(x->1+) g'(x) = lim(x->1-)(x^2/2) =1/2
g(x) 在x=1 是不可导
收起
当0≤x<1时，Φ(x)=(1/2)x²+x；
当1≤x≤2时，Φ(x)=(1/6)x³+4/3。
Φ(x)在x=1处连续但不可导，在[0，1)上和[1，2]上均连续，在(0，1)内和(1，2)内均可导。
[0,1)上 f(x)=x+1,从0到x积分等于 1/2x^2+x
[1,2]上， f(x)=1/2x^2,从0到x积分等于 1/6x^3
Φ(x)=1/2x^2+x,[0,1)
1/6x^3,[1,2]
因为1/2x^2+x在x=1时 =3/2,1/6x^3=1/6
所以在[0,2]上不连续，但在[0,1),[1,2]上连续
[0,1),[1,2]上可导，在x=1不连续不可导