如何证明这三个数是无理数?5^(1/3)-3^(1/3) ln2 2^(2^(1/2))

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 14:19:57

如何证明这三个数是无理数?5^(1/3)-3^(1/3) ln2 2^(2^(1/2))
如何证明这三个数是无理数?
5^(1/3)-3^(1/3)
ln2
2^(2^(1/2))

如何证明这三个数是无理数?5^(1/3)-3^(1/3) ln2 2^(2^(1/2))
1.假设5^(1/3)-3^(1/3)是有理数,则存在整数m,n使得
5^(1/3)-3^(1/3) = m/n
5^(1/3) = m/n + 3^(1/3)
等式两边立方
5 = m^3/n^3 + 3 + 3*m^2/n^2* 3^(1/3) + 3*m/n*3^(2/3)
整理
2-m^3/n^3 = 3*m^2/n^2* 3^(1/3) + 3*m/n*3^(2/3)
容易证明3^(1/3)是无理数
上述等式一边是无理数,一边是有理数矛盾
因此假设不成立,原式为无理数
2.ln2 = lg2/lge
e是超越数,超越数的代数式依然是超越数,因此lge是超越数,因此lge是无理数
因此ln2是无理数
3.2^(1/2)是无理数.
又有理数的无理数次幂是无理数
因此2^(2^(1/2))是无理数

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